已知橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其中a=b2,離心率e=
2
2

(I)求橢圓方程;
(II)若橢圓上動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)A(m,0)(m>0)的距離|AP|的最小值為1,求實(shí)數(shù)m的值.
分析:(I)根據(jù)題設(shè)及a,b,c間的平方關(guān)系列一方程組,解出即可;
(II)|AP|2=(x-m)2+2-
x2
2
=
1
2
(x-2m)2-m2+2
,令f(x)=
1
2
(x-2m)2-m2+2
,-2≤x≤2,由m>0,分0<2m≤2,2m>2兩種情況進(jìn)行討論求出f(x)min,使其等于1,解出即得m的值.
解答:解(I)由題得
a=b2
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
,
解得:a=2,b=
2
,
所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
=1

(II)由方程
x2
4
+
y2
2
=1知-2≤x≤2,y2=2-
x2
2

|AP|=
(x-m)2+y2
,
|AP|2=(x-m)2+2-
x2
2
=
1
2
(x-2m)2-m2+2

f(x)=
1
2
(x-2m)2-m2+2,-2≤x≤2由題意得:f(x)min=1,又m>0
,
則①當(dāng)0<2m≤2,即0<m≤1時(shí),f(x)min=f(2m)=2-m2=1,解得m=1(m=-1舍去);
②當(dāng)2m>2,即m>1時(shí),f(x)min=f(2)=(2-m)2=1,解得m=3(m=1舍去);
綜上,m=1或m=3.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,考查分類(lèi)討論思想及函數(shù)與方程思想.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓方程
x2
a2
+
y2
2a-1
=1(1<a≤5)
,過(guò)其右焦點(diǎn)做斜率不為0的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),設(shè)在A,B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)M(x0,y0),則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•閔行區(qū)二模)已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為A、B,短軸上端點(diǎn)為C.
(1)若橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(2
2
,0)、F2(-2
2
,0)
,點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ABM的最大面積為3時(shí),求其橢圓方程;
(2)對(duì)于(1)中的橢圓方程,作以C為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形CDE,設(shè)直線CE的斜率為k(k<0),試求k滿足的關(guān)系等式;
(3)過(guò)C任作
CP
垂直于
CQ
,點(diǎn)P、Q在橢圓上,試問(wèn)在y軸上是否存在一點(diǎn)T使得直線TP的斜率與TQ的斜率之積為定值,如果存在,找出點(diǎn)T的坐標(biāo)和定值,如果不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•江蘇模擬)已知橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),當(dāng)a2+
16
b(a-b)
的最小值時(shí),橢圓的離心率e=
3
2
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其中a=b2,離心率e=
2
2

(I)求橢圓方程;
(II)若橢圓上動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)A(m,0)(m>0)的距離|AP|的最小值為1,求實(shí)數(shù)m的值.

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