Question

已知拋物線(xiàn)y²=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=kx+3對(duì)稱(chēng)，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題,圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線(xiàn)BC方程x=-ky+m，把直線(xiàn)BC方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由韋達(dá)定理求出BC中點(diǎn)，應(yīng)用中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，且判別式大于0，可求出k的取值范圍．

解答： 解：設(shè)B、C關(guān)于直線(xiàn)y=kx+3對(duì)稱(chēng)，故可設(shè)直線(xiàn)BC方程為x=-ky+m，代入y²=4x，得 y²+4ky-4m=0．
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），
則 BC中點(diǎn)M（x₀，y₀），
則y₀=

y1+y2

2

=-2k，x₀=2k²+m．
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線(xiàn)y=kx+3上，
∴-2k=k（2k²+m）+3，
∴m=-

2k3+2k+3

k

．
又∵直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)交于不同兩點(diǎn)，∴△=16k²+16m＞0．
把m代入化簡(jiǎn)得-

2k3+2k+3

k

＜0，
即

(k+1)(k2-k+3)

k

＜0，
解得-1＜k＜0．
故答案為：（-1，0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，兩條直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，中點(diǎn)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．