Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足y=（x+

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）是偶函數(shù)，（x-

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）f′（x）＞0，且x₁＜x₂，則“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：先求出對(duì)稱軸，然后根據(jù)（x-

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）f′（x）＞0可判定函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可驗(yàn)證是充要條件．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）滿足f（x+

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）是偶函數(shù)，
∴f（

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-x）=f（

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+x），得函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

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對(duì)稱，
當(dāng)x＞

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時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜

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時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，若f（x₁）＞f（x₂）則有x₁＜x₂＜5-x₁，
∴x₁+x₂＜5成立，故充分性成立．
當(dāng)x₁+x₂＜5時(shí)，必有x₂＜5-x₁成立，又因?yàn)閤₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要性成立，
故“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充要條件，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系和充分、必要條件的判定．涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．