【答案】
分析:(Ⅰ)利用函數(shù)在y軸上的截距為-5,可求得c=-5.根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,在[1,2]上單調(diào)遞減,可得x=1時(shí)取得極大值,當(dāng)x=0,x=2時(shí)函數(shù)f(x)取得極小值.可知x=0,x=1,x=2為函數(shù)f(x)的三個(gè)極值點(diǎn),
從而f'(x)=0的三個(gè)根為0,1,2,∴由此可求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)假設(shè)存在對(duì)稱軸方程為x=t,則f(t+x)=f(t-x)對(duì)x∈R恒成立.代入化簡(jiǎn)得(t-1)x
3+( t
3-3 t
2+2t)x=0對(duì)x∈R恒成立,從而可出對(duì)稱軸x=1.
(Ⅲ)x
4-4x
3+4x
2-5=λ
2x
2-5恰好有三個(gè)不同的根,等價(jià)于x
4-4x
3+4x
2-λ
2x
2=0恰好有三個(gè)不同的根,由于x=0是一個(gè)根,所以方程x
2-4x+4-λ
2=0應(yīng)有兩個(gè)非零的不相等的實(shí)數(shù)根,從而可求λ的取值范圍.要使m
2+tm+2≤|x
1-x
2|對(duì)任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立,可轉(zhuǎn)化為m
2+tm+2≤0對(duì)任意t∈[-3,3]恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(t)=tm+m
2+2,只要
,從而可知不存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m
2+tm+2≤|x
1-x
2|對(duì)任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立.
解答:解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=x
4+ax
3+bx
2+c,在y軸上的截距為-5,∴c=-5.
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,在[1,2]上單調(diào)遞減,
∴x=1時(shí)取得極大值,又當(dāng)x=0,x=2時(shí)函數(shù)f(x)取得極小值.
∴x=0,x=1,x=2為函數(shù)f(x)的三個(gè)極值點(diǎn),
即f'(x)=0的三個(gè)根為0,1,2,∴f'(x)=4x
3+3ax
2+2bx=4x(x-1)(x-2))=4x
3-12x
2+8x.
∴a=-4,b=4,
∴函數(shù)f(x)的解析式:f(x)=x
4-4x
3+4x
2-5.
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)存在垂直于x軸的對(duì)稱軸,設(shè)對(duì)稱軸方程為x=t,
則f(t+x)=f(t-x)對(duì)x∈R恒成立.
即:(t+x)
4-4(t+x)
3+4(t+x)
2-5=(t-x)
4-4(t-x)
3+4(t-x)
2-5.
化簡(jiǎn)得(t-1)x
3+(t
3-3t
2+2t)x=0對(duì)x∈R恒成立.
∴
∴t=1.
即函數(shù)f(x)存在垂直于x軸的對(duì)稱軸x=1.
(Ⅲ)x
4-4x
3+4x
2-5=λ
2x
2-5恰好有三個(gè)不同的根,即x
4-4x
3+4x
2-λ
2x
2=0恰好有三個(gè)不同的根,
即x
2(x
2-4x+4-λ
2)=0,
∵x=0是一個(gè)根,
∴方程x
2-4x+4-λ
2=0應(yīng)有兩個(gè)非零的不相等的實(shí)數(shù)根,
∴△=16-4(4-λ
2)=4λ
2>0,且x
1x
2=4-λ
2≠0,∴λ≠0,-2,2.
若存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m
2+tm+2≤|x
1-x
2|對(duì)任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立.
∵|x
1-x
2|=
=2|λ|>0,
要使m
2+tm+2≤|x
1-x
2|對(duì)任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立,只要m
2+tm+2≤0對(duì)任意t∈[-3,3]恒成立,
令g(t)=tm+m
2+2,則g(t)是關(guān)于t的線性函數(shù).
∴只要
解得
,無(wú)解
∴不存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m
2+tm+2≤|x
1-x
2|對(duì)任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的圖象性質(zhì)、二次方程根的判斷,等價(jià)轉(zhuǎn)換、化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.解題時(shí)對(duì)恒成立問題的處理是關(guān)鍵.