Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）當(dāng)b=-1時(shí)，求在曲線y=f（x）上一點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）當(dāng)b=-1時(shí)，f（x）=2x²-ln（x+1），f（0）=0，
f′（x）=4x-，
在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率k=f′（0）=-1，
所以所求切線方程為：y=-x；
（2）函數(shù)f（x）=2x²+bln（x+1）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′（x）=4x+=，
①當(dāng)b≥1時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；
②當(dāng)b＜1時(shí)，解f′（x）=0得兩個不同解，，
當(dāng)b＜0時(shí)，＜-1，＞-1，
所以此時(shí)f′（x）在（-1，x₂）上小于0，在（x₂，+∞）上大于0，即f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)；
③當(dāng)0＜b＜1時(shí)，在（-1，x₁），（x₂，+∞）上f′（x）＞0，則（x₁，x₂）上f′（x）＜0，
此時(shí)f（x）有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)；
綜上可知，b＜0時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)；
0＜b＜1時(shí)，f（x）有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)；
b≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點(diǎn)．
分析：（1）當(dāng)b=-1時(shí)，f（0）=0，切線斜率kk=f′（0）=-1，點(diǎn)斜式即可求得切線方程；
（2）先求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)按①當(dāng)b≥1時(shí)，②當(dāng)b＜1時(shí)，③當(dāng)0＜b＜1時(shí)三種情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，根據(jù)極值點(diǎn)的定義即可求得；
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，注意f′（x₀）=0是x₀為可導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值點(diǎn)的必要不充分條件．