Question

19．如圖，四棱錐M-ABCD中，底面ABCD為矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E為MA中點．
（1）求證：DE⊥MB；
（2）若DC=2，求三棱錐M-EBC的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質定理證明DE⊥平面MAB即可．
（2）取AD的中點H，連接EH，EH是三棱錐E-ABD的高，根據(jù)割補法得到三棱錐M-EBC的體積V_M-EBC=V_M-ABCD-V_E-ABD，分別根據(jù)三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答 （1）證明：∵MD=DA=1，E為MA中點，
∴DE⊥MA，
∵MD⊥平面ABCD，MD?平面MAD，
∴平面MAD⊥平面ABCD，
∵底面ABCD為矩形，∴AB⊥平面MAD，
∵DE?平面MAD，
∴AB⊥DE，
∵MA∩AB=A，
∴DE⊥平面MAB，
∵MB?平面MAB，
∴DE⊥MB
（2）取AD的中點H，連接EH，則EH∥DM，且EH=$\frac{1}{2}$MD=$\frac{1}{2}$，
則EH⊥平面ABCD，
即EH是三棱錐E-ABD的高，
若DC=2，則S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$×1×2=1，S_ABCD=AB•AD=1×2=2，
則V_E-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•EH=$\frac{1}{3}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，V_M-ABCD=$\frac{1}{3}$S_ABCD•MD=$\frac{1}{3}×$2×1=$\frac{2}{3}$，
則三棱錐M-EBC的體積V_M-EBC=V_M-ABCD-V_E-ABD=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查看空間直線垂直的判定以及三棱錐的體積的計算，根據(jù)割補法將三棱錐M-EBC的體積轉化為兩個規(guī)則三棱錐的體積差是解決本題的關鍵．