Question

已知函數(shù)f(x)=x-2a

x

在（0，1）上為減函數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性（指出單調(diào)區(qū)間）；
（2）當(dāng)a＞0時，如果f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）當(dāng)a=2時，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]內(nèi)恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）∵函數(shù)f(x)=x-2a

x

，∴f′（x）=1-

a

x

，
∵函數(shù)f(x)=x-2a

x

在（0，1）上為減函數(shù)．
∴f′（x）=1-

a

x

≤0在（0，1）上恒成立，
∴a≥1．
f′（x）=1-

a

x

＞0得：x＞a²，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（a²，+∞），減區(qū)間為（0，a²）
（2）由（1）得a≥1，
又g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函數(shù)，
∴g′（x）=2x-

2a

x

≥0在（1，2）上恒成立，
?a≤x²，?a≤1，
∴a=1．
（3）當(dāng)a=2時，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]內(nèi)恒成立，
即：x²-4lnx≥2bx-

1

x 2

，
2b≤x+

1

x3

-

lnx

x

，設(shè)h（x）=x+

1

x3

-

lnx

x

，它在（0，1）上是減函數(shù)，
∴2b≤h（1）?2b≤2，?b≤1．
∴b的取值范圍b≤1．