Question

9．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cost}\\{y=1+\sqrt{3}sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=1．
（1）把C₁的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（2）求C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cost}\\{y=1+\sqrt{3}sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），利用cos²t+sin²t=1消去參數(shù)t化為普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得極坐標(biāo)方程．
（2）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=1，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=1．聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cost}\\{y=1+\sqrt{3}sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：（x-1）²+（y-1）²=3，展開(kāi)為：x²+y²-2x-2y-1=0．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ-1=0．
（2）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=1，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y-1=0}\end{array}\right.$，j解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
化為極坐標(biāo)$（1，\frac{3π}{4}）$，$（1，\frac{7π}{4}）$．
∴C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為：$（1，\frac{3π}{4}）$，$（1，\frac{7π}{4}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、曲線的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．