Question

已知幾何體由正方體和直三棱柱組成，其三視圖和直觀圖（單位：cm）如圖所示．設(shè)兩條異面直線AQ和PD所成的角為θ，則cosθ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題,空間角

分析：先作出異面直線所成的角的平面角，即連接QC，再證明∠A₁QC為異面直線A₁Q、PD所成的角（或其補(bǔ)角），最后在△A₁QC中計(jì)算此角的余弦值即可．

解答： 解：這個(gè)幾何體的直觀圖如圖，這個(gè)幾何體可看成是由正方體AC₁及直三棱柱B₁C₁Q₁-A₁D₁P的組合體，
由PQ∥CD，且PQ=CD，可知PD∥QC，
故∠A₁QC為異面直線A₁Q、PD所成的角（或其補(bǔ)角），
由題設(shè)知QA₁²=A₁B₁²+B₁Q²=2²+2=6，
CA₁=

3

×2=2

3

，取BC中點(diǎn)E，則QE⊥BC，
且QE=3，QC²=QE²+EC²=3²+1²=10，
由余弦定理，得cosθ=cos∠A₁QC=

6+10-12

2 6 • 10

=

15

15

．
故答案為：

15

15

．

點(diǎn)評：本題考查了空間想象能力，由三視圖作出幾何體的直觀圖，異面直線所成的角的定義及其求法．