(2012•溫州一模)已知函數(shù)f(x)=2x2-alnx
(1)若a=4,求函數(shù)f(x)的極小值;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-cos2x,試問:在定義域內(nèi)是否存在三個不同的自變量xi(i=1,2,3)使得f(xi)-g(xi)的值相等,若存在,請求出a的范圍,若不存在,請說明理由?
分析:(1)由a=4,得函數(shù)f(x)的解析式,求出其導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根,通過比較兩根的大小找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進而求出f(x)的極小值;
(2)若定義域內(nèi)存在三個不同的自變量的取值xi(i=1,2,3),使得f(xi)-g(xi)的值恰好都相等,設(shè)f(xi)-g(xi)=m.(i=1,2,3),則對于某一實數(shù)m,方程f(x)-g(x)=m在(0,+∞)上有三個不等的實數(shù),由此能求出在定義域內(nèi)不存在三個不同的自變量的取值xi(i=1,2,3)使得f(xi)-g(xi)的值恰好都相等.
解答:解:(1)由已知得f′(x)=4x-
4
x
=
4(x2-1)
x
,xk.Com]
則當0<x<1時f'(x)<0,可得函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù),
當x>1時f′(x)>0,可得函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
故函數(shù)的極小值為f(1)=2;
(2)若存在,設(shè)f(xi)-g(xi)=m(i=1,2,3),則對于某一實數(shù)m,方程f(x)-g(x)=m在(0,+∞)上有三個不同的實數(shù)根,設(shè)F(x)=f(x)-g(x)-m=2x2-alnx+cos2x-m,
F′(x)=4x-
a
x
-2sin2x(x>0)
有兩個不同的零點,即關(guān)于x的方程4x2-2xsin2x=a(x>0)有兩個不同的解G(x)=4x2-2xsin2x(x>0),
則G'(x)=8x-2sin2x-4xcos2x=2(2x-sin2x)+4x(1-cos2x),
設(shè)h(x)=2x-sin2x,則h′(x)=2-2cos2x≥0,故h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
則當x>0時h(x)>h(0)=0,即2x>sin2x,
又1-cos2x>0,則G′(x)>0故G(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
則a=4x2-2xsin2x(x>0)至多只有一個解,故不存.
方法二:關(guān)于方程4x-
a
x
-2sin2x=0(x>0)
的解,
當a≤0時,由方法一知2x>sin2x,此時方程無解;
當a>0時,由于H′(x)=4+
a
x2
-4cos2x>0
,
可以證明H(x)=4x-
a
x
-2sin2x(x>0)
是增函數(shù),此方程最多有一個解,故不存在.
點評:本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法.綜合性強,難度大,具有一定的探索性.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•溫州一模)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=2f(
1
x
)
,當x∈[1,3]時,f(x)=lnx,若在區(qū)間[
1
3
,3]
內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)-ax,有三個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是( �。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•溫州一模)如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E,F(xiàn),G,H分別為四邊的中點,且都在坐標軸上,設(shè)
OP
OF
,
CQ
CF
(λ≠0).
(Ⅰ)求直線EP與GQ的交點M的軌跡Γ的方程;
(Ⅱ)過圓x2+y2=r2(0<r<2)上一點N作圓的切線與軌跡Γ交于S,T兩點,若
NS
NT
+r2=0
,試求出r的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•溫州一模)如圖,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,且BD:DC:AD=2:3:6.
(Ⅰ)求∠BAC的大��;
(Ⅱ)設(shè)E為AB的中點,已知△ABC的面積為15,求CE的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•溫州一模)某高校進行自主招生面試時的程序如下:共設(shè)3道題,每道題答對給10分、答錯倒扣5分(每道題都必須回答,但相互不影響).設(shè)某學(xué)生對每道題答對的概率都為
23
,則該學(xué)生在面試時得分的期望值為
15
15
分.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•溫州一模)若圓x2+y2-4x+2my+m+6=0與y軸的兩個交點A,B位于原點的同側(cè),則實數(shù)m的取值范圍是( �。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案