Question

在圓柱OO₁中，ABCD是其軸截面，EF⊥CD于O₁（如圖所示），若AB=2，BC=

2

．

（Ⅰ）設(shè)平面BEF與⊙O所在平面的交線為l，平面ABE與⊙O₁所在平面的交線為m，證明：l⊥m；
（Ⅱ）求二面角A-BE-F的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AB∥⊙O₁所在平面，EF∥⊙O所在平面，再由EF⊥CD．能證明l⊥m．
（Ⅱ）分別以EF在⊙O所在平面內(nèi)的投影、AB、OO₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BE-F的平面角的余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）證明：由于圓柱的兩底面互相平行，
∴AB∥⊙O₁所在平面，EF∥⊙O所在平面．…（2分）
∴l(xiāng)∥EF，m∥AB．…（4分）
而EF⊥CD．
故l⊥m．…（6分）
（Ⅱ）解：分別以EF在⊙O所在平面內(nèi)的投影、AB、OO₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），

則A（0，-1，0），B（0，1，0），E（-1，0，

2

），F(xiàn)（1，0，

2

）…（8分）
設(shè)平面ABE的法向量分別是

n1

=（x，y，z）
則由

n1

•

AB

=0及

n1

•

AE

=0，
得

2y=0 -x+y+ 2 z=0

，取z=1，得

n1

=（

2

，0，1）…（10分）
設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為

n2

=（0，

2

，1）
∵cos＜

n1

，

n2

＞=

1

3

∴所求二面角A-BE-F的平面角的余弦值為

1

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．