Question

已知函數(shù)f（x）=log₃

1-x

1-mx

（m≠1）是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）設g（x）=

1-x

1-mx

，用函數(shù)單調性的定義證明；函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）上單調遞減；
（3）解不等式：f（t+3）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)解析式的求解及常用方法,奇偶性與單調性的綜合

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：本題（1）可以由奇函數(shù)定義得到解析式滿足的條件，從而求出參數(shù)m的值；
（2）利用函數(shù)單調性的定義，可以證明函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）上單調遞減；
（3）利用（2）的結論，得到函數(shù)f（x）的單調性，再利用f（x）的單調性解不等式f（t+3）＜0，得到t的取值范圍，注意函數(shù)的定義域．

解答： 解：（1）由題意得：f（-x）+f（x）=0對于定義域中的x都成立，
∴log3

1+x

1+mx

+log3

1-x

1-mx

=0，

1+x

1+mx

×

1-x

1-mx

=1．
∴1-x²=1-mx²對于定義域中的x都成立，
∴m²=1，
∵m≠1，
∴m=-1．
∴f(x)=log3

1-x

1+x

．
（2）由（1）知：g(x)=

1-x

1+x

，
設x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，
∵g（x₁）-g（x₂）=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）上單調遞減．
（3）設函數(shù)y=f（x）的定義域為（-1，1）．
設x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
由（2）知：g（x₁）＞g（x₂），
∴l(xiāng)og₃g（x₁）＞log₃g（x₂），
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調遞減．
∵f（t+3）＜0=f（0），
∴

-1＜t+3＜1 t+3＞0

，
∴-3＜t＜-2．
∴不等式：f（t+3）＜0的解集為：{t|-3＜t＜-2}．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調性及其應用，本題難度不大，屬于基礎題．