Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若，對于給定實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）記，求證：.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，；（2）（i）；（ii）證明見詳解.

【解析】

（1）當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，可得，再根據(jù)為偶函數(shù)，即可求出函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）（i），令，則，令，利用導(dǎo)數(shù)可得；再分別對和，兩種情況分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性以及對稱性進(jìn)行分析，即可求出結(jié)果；

（ii）由的四個(gè)根為，，，，不妨設(shè)，由于為偶函數(shù)，則，化簡整理可得，令，，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和最值的應(yīng)用，即可求證結(jié)果.

（1）當(dāng)，，當(dāng)，；當(dāng)，，∴.

又為偶函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，，

當(dāng)時(shí)，無單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）（i）

，令，

則，

令，，

∴在遞減，遞增，遞減，遞增.

.

①當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，所以在遞減，在遞增，則至多2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

②當(dāng)，則有4個(gè)不同實(shí)根，即時(shí)，有2個(gè)不同實(shí)根，此時(shí).

其中，（極大），，設(shè)的4個(gè)實(shí)根為，則極大，極小，極大，極小，由于為奇函數(shù)，所以極值關(guān)于原點(diǎn)對稱，，

，∴，當(dāng)時(shí)有3個(gè)零點(diǎn).

（ii）由的四個(gè)根為，，，，不妨設(shè)，由于為偶函數(shù)，則，，

∴，

令，，

令，，所以單調(diào)遞增，

，所以，單調(diào)遞增，則，

所以，.