Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，AB=AC，∠ACB的平分線(xiàn)與AB交于點(diǎn)D，過(guò)△ABC的外心O作CD的垂線(xiàn)與AC交于點(diǎn)E，過(guò)E作AB的平行線(xiàn)與CD交于點(diǎn)F。證明：

（1）C、E、0、F四點(diǎn)共圓；

（2）A、0、F三點(diǎn)共線(xiàn)；

（3）EA=EF。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）如圖，聯(lián)結(jié)0C、0A、OF.因?yàn)锳B=AC，0為△ABC的外心，所以，0A平分∠BAC，OA =0C.

則.

由OE⊥CD，CD平分∠ACB，知∠OEC=90°-∠ECD.

則.

又由EF//AD，CD平分∠ACB，知∠CFE=∠CDA=∠ABC+∠DCB=.

故∠CFE=∠EOC.

因此，C、E、0、F四點(diǎn)共圓.

（2）由0為△ABC的外心，知∠AOC=2∠B.

因?yàn)镃、E、O、F四點(diǎn)共圓，所以，∠FOC=∠FEC=∠BAC.

故∠FOC+∠AOC=∠BAC+2∠B=180°.

因此，A、O、F三點(diǎn)共線(xiàn).

（3）由C、E、0、F四點(diǎn)共圓知∠0FE=∠OCE=∠OAC.

從而，EA=EF.