Question

已知f(x)=-2cos2x-2

2

sinx+2定義域為R．
（1）求f（x）的值域；
（2）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上，f（α）=3，求sin(2α+

π

3

)）．

Answer 1

分析：（1）根據所給的三角函數式，利用二倍角公式整理，得到關于正弦的二次函數形式，根據正弦函數的值域，做出二次函數在閉區(qū)間上的范圍，得到結果．
（2）根據（1）整理出的結果，根據所給的等式和角的范圍，解出變量α的值，代入三角函數式進行求解．

解答：解：（1）∵f(x)=-2(1-sin2x)-2

2

sinx+2=2(sinx-

2

2

)2-1
∵x∈R，
∴sinx∈[-1，1]
根據二次函數的性質知函數在閉區(qū)間上的范圍是[-1，2+2

2

]
∴函數的值域[-1，2+2

2

]
（2）由（1）得，f(α)=2(sinα-

2

2

)2-1=3
∴(sinα-

2

2

)2=2，
又∵α∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴α=-

π

4

∴sin(2α+

π

3

)=sin(-

π

2

+

π

3

)=sin(-

π

6

)=-

1

2

點評：本題考查三角函數的化簡求值，本題解題的關鍵是對所給的函數式進行整理，借助于二次函數與正弦函數的值域來求值和最值，本題是一個中檔題目．