Question

已知拋物線y²=-x與直線y=k（x+2）相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求

OA

•

OB

的值；
（Ⅱ）若△OAB的面積等于

10

，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯(lián)立直線與拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和與積，直接運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解；
（Ⅱ）把△OAB的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形OCA，OCB的面積和，然后直接代入三角形面積公式求解．

解答：解：（I）如圖，
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由

y2=-x y=k(x+2)

得：ky²+y-2k=0．
則y1+y2=-

1

k

，y₁•y₂=-2，
∴x₁•x₂=（-y₁²）•（-y₂²）=4
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂═4-2=2；
（Ⅱ）不妨設(shè)y₁＜0，y₂＞0．
則S△OAB=

1

2

|OC|•|y2-y1|
=

1

2

×2

(y1+y2)2-4y1y2

=

(- 1 k )2-4×(-2)

=

1 k2 +8

=

10

．
解得：k=±

2

2

．
∴使△OAB的面積等于

3

的k的值為-

2

2

或

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，訓(xùn)練了三角形面積的求法，是中檔題．