(2012•黃州區(qū)模擬)(理)(1)證明不等式:ln(1+x)<
x
1+x
(x>0).
(2)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
ax
a+x
在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.
(3)若關(guān)于x的不等式
x
1+bx
+
1
ex
≥1在[0,+∞)上恒成立,求實數(shù)b的最大值.
分析:(1)令h(x)=ln(1+x)-
x
1+x
,證明h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即h(x)<h(0),從而可得結(jié)論;
(2)求導(dǎo)函數(shù),令f′(x)=0,可得x=0或x=a2-2a,根據(jù)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
ax
a+x
在(0,+∞)上單調(diào)遞增,可得f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,從而可求實數(shù)a的取值范圍;
(3)關(guān)于x的不等式
x
1+bx
+
1
ex
≥1在[0,+∞)上恒成立,等價于
x
1+bx
≥1-
1
ex
在[0,+∞)上恒成立,當(dāng)x>0時,b≤1+
1
ex-1
-
1
x
,構(gòu)造函數(shù)g(x)=1+
1
ex-1
-
1
x
,利用ln(1+x)<
x
1+x
(x>0),可得g(x)在(0,+∞)上單調(diào)增,從而可求實數(shù)b的最大值.
解答:(1)證明:(1)令h(x)=ln(1+x)-
x
1+x
,則h′(x)=
1-
1+x+
1
4
x2
1+x
1+x
<0

∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即h(x)<h(0)=0
∴l(xiāng)n(1+x)-
x
1+x
<0
∴l(xiāng)n(1+x)<
x
1+x
(x>0).
(2)解:求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=
x[x-(a2-2a)]
(x+1)(x+a)2
,令f′(x)=0,可得x=0或x=a2-2a,
∵函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
ax
a+x
在(0,+∞)上單調(diào)遞增
∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立
∴a2-2a≤0
∵f(x)在(0,+∞)上有意義
∴a≥0
∴0≤a≤2;
(3)解:關(guān)于x的不等式
x
1+bx
+
1
ex
≥1在[0,+∞)上恒成立,等價于
x
1+bx
≥1-
1
ex
在[0,+∞)上恒成立,
1-
1
ex
0,∴b≥0
當(dāng)x>0時,b≤1+
1
ex-1
-
1
x

構(gòu)造函數(shù)g(x)=1+
1
ex-1
-
1
x
,則g′(x)=-
ex
(ex-1)2
+
1
x2

由(1)知,ln(1+x)<
x
1+x
(x>0).
以ex代1+x,可得x<
ex-1
ex
,
∵x>0,∴-
ex
(ex-1)2
+
1
x2
>0,
∴g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)增
當(dāng)x>0且x→0時,g(x)→1
∴b≤1
∴實數(shù)b的最大值為1
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查恒成立問題,考查函數(shù)的構(gòu)造,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•黃州區(qū)模擬)已知向量
m
=(cos
x
2
,-1),
n
=(
3
sin
x
2
,cos2
x
2
),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
+1.
(1)若x∈[0,
π
2
],f(x)=
11
10
,求cosx的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足2bcosA≤2c-
3
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3+
2
+
3
3+
2
+
3

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(2012•黃州區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=
|log
x
4
-1|-2,|x|≤1
1
1+x
1
3
,|x|>1
,則f(f(27))=( 。

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