Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1，（a為實(shí)常數(shù)）
（1）若a=1，將f（x）寫出分段函數(shù)的形式，并畫出簡(jiǎn)圖，指出其單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值的含義，取絕對(duì)值符號(hào)寫出函數(shù)的分段形式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程與區(qū)間位置，分類討論求最小值g（a）的解析式．

解答：解：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=

x2-x+1，(x≥0) x2+x+1，(x＜0)

f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，-

1

2

]和[0，

1

2

]；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，x∈[1，2]，f（x）=-x-1，在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=2時(shí)，f_min（x）=-3
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈[1，2]，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-1-

1

4a

（�。┊�(dāng)0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時(shí)，此時(shí)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴x=1時(shí)，f_min（x）=3a-2
（ⅱ）當(dāng)1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

時(shí)，當(dāng)x=

1

2a

時(shí)，fmin(x)=2a-1-

1

4a

（ⅲ）當(dāng)

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

時(shí)，此時(shí)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴x=2時(shí)f_min（x）=6a-3
當(dāng)a＜0時(shí)，x∈[1，2]，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-1-

1

4a

，此時(shí)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴x=2時(shí)f_min（x）=6a-3
綜上：g(a)=

3a-2，a＞ 1 2 2a-1- 1 4a ， 1 4 ≤a≤ 1 2 6a-3，a＜ 1 4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的概念，絕對(duì)值的概念，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．分段函數(shù)求單調(diào)區(qū)間和最值問(wèn)題．從解法看，思路比較明確，但操作上易于出錯(cuò)．
（2）涉及求閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問(wèn)題，注意討論對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置，確定得到最值的不同表達(dá)式．