Question

(本題滿分14分)已知x=1是函數(shù)f(x)=mx-3(m+1)x+nx+1的一個極值點，其中m、n∈R, m<0.(1)求m與n的關(guān)系表達(dá)式；(2)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)x∈［-1，1］時，函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)   n=3m+6.  (Ⅱ) 略（Ⅲ）-<m<0.

解析:

(1)f′(x)=3mx-6(m+1)x+n.因為x=1是f (x)的一個極值點，所以f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0,

所以f′(1)=0.即3m-6(m+1)+n=0,所以n=3m+6.

(2)由（1）知，f′(x)=3mx-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1-)］.

(ⅰ)當(dāng)m<0時，有1>1+,當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化如下表：

X				1	(1,+)
f′(x)	<0	0	>0	0	<0
f(x)	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

由上表知，當(dāng)m<0時，f(x)在（-∞,1+）單調(diào)遞減，在(1+,1)單調(diào)遞增，在（1，＋∞）單調(diào)遞減.

(3)解法一：由已知，得f′(x)>3m,即mx-2(m+1)x+2>0.

∵m<0,∴x-(m+1)x+<0. 即x-2(1+)x+<0,x∈［－1，1］.(*)

設(shè)g(x)=x-2(1+)x+,其函數(shù)圖象的開口向上.

由題意（*）式恒成立.∴,又m<0.

∴-<m<0.即m的取值范圍是-<m<0.

解法二：由已知，得f′(x)>3m, 即3m(x-1)［x-(1+)］>3m.∵m<0,∴(x-1)<1(*)

(ⅰ)x=1時（*）式化成0<1恒成立，∴m<0.(ⅱ)x≠1時，∵x∈［－1，1］，∴-2≤x-1＜0.

(*)式化為<(x-1)-,令t=x-1,則t∈［－2，0］,記g(t)=t-,則g(t)在區(qū)間［－2，0］是單調(diào)增函數(shù).

∴g(t)=g(-2)=-2-=-.由（*）式恒成立，必有<--<m,又m<0.∴-<m<0.

綜合（ⅰ）(ⅱ)知-<m<0.