Question

4．已知函數(shù)y=f（x），若存在實數(shù)m、k（m≠0），使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，則稱函數(shù)f（x）的“可平衡”函數(shù)，有序數(shù)對（m，k）稱為函數(shù)f（x）的“平衡“數(shù)對．
（1）若m=1，判斷f（x）=sinx是否為“可平衡“函數(shù)，并說明理由；
（2）若a∈R，a≠0，當a變化時，求證f（x）=x²與g（x）=a+2^x的平衡“數(shù)對”相同．
（3）若m₁、m₂∈R，且（m₁，$\frac{π}{2}$）（m₂，$\frac{π}{4}$）均為函數(shù)，f（x）=cos²x（0$＜x≤\frac{π}{4}$）的“平衡”數(shù)對，求m₁²+m₂²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當m=1時，f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，求出k=2nπ±$\frac{π}{3}$，n∈Z，可得結(jié)論；
（2）證明（2，0）分別是函數(shù)f（x）=x²與g（x）=a+2^x的“平衡“數(shù)對，可得結(jié)論；
（3）假設存在實數(shù)m、k（k≠0），對于定義域內(nèi)的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，則mcos²x=cos²（x+k）+cos²（x-k）=$\frac{1}{2}$[1+cos2（x+k）]+$\frac{1}{2}$[1+cos2（x-k）]，得出m₁²+m₂²的函數(shù)，即可求m₁²+m₂²的取值范圍．

解答 解：（1）當m=1時，f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，
∴sinx=sin（x+k）+sin（x-k）=sinxcosk+cosxsink+sinxcosk-cosxsink=2sinxcosk，
∴sinx（1-2cosk）=0，
∵對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，
∴1-2cosk=0，
即cosk=$\frac{1}{2}$，
∴k=2nπ±$\frac{π}{3}$，n∈Z，
∴f（x）=sinx是“可平衡“函數(shù)；
（2）∵f（x）=x²的定義域為R．
假設存在實數(shù)m、k（k≠0），對于定義域內(nèi)的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，
則mx²=（x+k）²+（x-k）²=2x²+2k²，
即（m-2）x²=2k²，
由于上式對于任意實數(shù)x都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2=0}\\{{k}^{2}=0}\end{array}\right.$，
解得m=2，k=0，
∴（2，0）是函數(shù)f（x）=x²的“平衡“數(shù)對，
∵g（x）=a+2^x，
∴m（a+2^x）=a+2^x+k+a+2^x-k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ma=2a}\\{m={2}^{k}+{2}^{-k}}\end{array}\right.$，
解得m=2，k=0，
∴（2，0）是函數(shù)g（x）=a+2^x的“平衡“數(shù)對，
∴f（x）=x²與g（x）=a+2^x的平衡“數(shù)對”相同
（3）假設存在實數(shù)m、k（k≠0），對于定義域內(nèi)的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，
則mcos²x=cos²（x+k）+cos²（x-k）=$\frac{1}{2}$[1+cos2（x+k）]+$\frac{1}{2}$[1+cos2（x-k）]
∴$\frac{1}{2}$m（1+cos2x）=$\frac{1}{2}$[1+cos2（x+k）]+$\frac{1}{2}$[1+cos2（x-k）]
∴m+mcos2x=1+cos2xcos2k-sin2xsin2k+1+cos2xcos2k+sin2xsin2k，
∴m（1+cos2x）=2+2cos2xcos2k，
∵（m₁，$\frac{π}{2}$）（m₂，$\frac{π}{4}$）均為函數(shù)，
∴m₁（1+cos2x）=2+2cos2xcosπ=2-2co2x，
m₂（1+cos2x）=2+2cos2xcos$\frac{π}{2}$=2，
∵0$＜x≤\frac{π}{4}$，
∴0＜2x≤$\frac{π}{2}$，
∴0＜cos2x≤1，
∴m₁=$\frac{2-2cos2x}{1+cos2x}$=$\frac{2-2（1-2si{n}^{2}x）}{1+2co{s}^{2}x-1}$=$\frac{2si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$=2tan²x，m₂=$\frac{2}{1+cos2x}$=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$
∴m₁²+m₂²=4tan⁴x+$\frac{1}{co{s}^{4}x}$，
設h（x）=4tan⁴x+$\frac{1}{co{s}^{4}x}$，（0$＜x≤\frac{π}{4}$）
∴h（0）≤h（x）≤h（$\frac{π}{4}$），
即1≤h（x）≤8
∴m₁²+m₂²的取范圍為[1，8]

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查運算能力，屬于難題．