Question

附加題（10分，總分120以上有效）
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-3）³+x-1，{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，則a₁+a₂+…+a₇=________
（2）若S_n=sin+sin+…+sin（n∈N⁺），則在S₁，S₂，…S₁₀₀中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是________．

Answer 1

解：（1）解：∵f（x）=（x-3）³+x-1，∴f（x）-2=（x-3）³+x-3，
令g（x）=f（x）-2，
∴g（x）關(guān)于（3，0）對(duì)稱，
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，
∴f（a₁）-2+f（a₂）-2+…+f（a₇）-2=0
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，
∴g（a₄）為g（x）與x軸的交點(diǎn)，
因?yàn)間（x）關(guān)于（3，0）對(duì)稱，所以a₄=3，
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故答案為：21．
（2）解：∵sin＞0，sin＞0，…，sin＞0，sin=0，sin＜0，…，sin＜0，sin=0，
∴S₁=sin＞0，
S₂=sin+sin＞0，…，
S₈=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，
…，
S₁₂＞0，
而S₁₃=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，
S₁₄=S₁₃+sin=0+0=0，
又S₁₅=S₁₄+sin=0+sin=S₁＞0，S₁₆=S₂＞0，…S₂₇=S₁₃=0，S₂₈=S₁₄=0，
∴S_14n-1=0，S_14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7項(xiàng)，
∴在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，為0的項(xiàng)共有14項(xiàng)，其余項(xiàng)都為正數(shù)．
故在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是86．
故答案為：86．
分析：（1）根據(jù)f（x）=（x-3）³+x-1，可得f（x）-2=（x-3）³+x-3，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2，從而g（x）關(guān)于（3，0）對(duì)稱，利用f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，從而g（a₄）為g（x）與x軸的交點(diǎn)，由此可求a₁+a₂+…+a₇的值．
（2）由sin＞0，sin＞0，…，sin＞0，sin=0，sin＜0，…，sin＜0，sin=0，可得到S₁＞0，…S₁₃＞0，而S₁₄=0，從而可得到周期性的規(guī)律，從而得到答案．
點(diǎn)評(píng)：題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．