Question

已知函數(shù)f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（2）若0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，且f（

α

2

）=

1

3

，f（

β

2

）=

2

3

，求sin（α-β）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用二倍角公式化簡函數(shù)解析式為f（x）=cos2x，令2kπ-π≤2x≤2kπ，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間；令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間．
（2）由f（

α

2

）=

1

3

，f（

β

2

）=

2

3

，可得 cosα=

1

3

，cosβ=

2

3

．再結合α、β的范圍，可得 sinα 和sinβ 的值，再根據sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，計算求得結果．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x，
令2kπ-π≤2x≤2kπ，求得kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]，k∈z．
（2）由f（

α

2

）=

1

3

，f（

β

2

）=

2

3

，可得 cosα=

1

3

，cosβ=

2

3

．
再結合 0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，可得 sinα=

2 2

3

，sinβ=

5

3

，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=

2 2

3

×

2

3

-

1

3

×

5

3

=

4 2 - 5

9

．

點評：本題主要考查二倍角公式、余弦函數(shù)的單調性，同角三角函數(shù)的基本關系，兩角差的正弦公式，屬于中檔題．