Question

△ABC中，內(nèi)角為A，B，C，所對的三邊分別是a，b，c，已知b²=ac，cosB=

3

4

．
（1）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（2）設(shè)

BA

• 

BC

=

3

2

，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡b²=ac，得到一個關(guān)系式，再由cosB的值及B為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，根據(jù)誘導公式得到sin（A+C）=sinB，然后將所求的式子兩分母分別利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，整理后，將sin（A+C）=sinB及得到的關(guān)系式代入，得到關(guān)于sinB的關(guān)系式，再將sinB的值代入即可求出值；
（2）由a，c及cosB的值，利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡已知的等式，得到ac的值，進而由b²=ac確定出b²的值，再利用余弦定理表示出cosB，將cosB，b²與ac的值代入，利用完全平方公式變形后再將ac的值代入，即可求出a+c的值．

解答：解：（1）∵b²=ac，
∴由正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
又cosB=

3

4

，且B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB=

1-cos2B

=

7

4

，又sin（A+C）=sinB，
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4 7

7

；
（2）∵

BA

•

BC

=

3

2

，cosB=

3

4

，
∴ac•cosB=

3

4

ac=

3

2

，即ac=2，
∴b²=ac=2，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-2

4

=

(a+c)2-2ac-2

4

=

(a+c)2-6

4

=

3

4

，
∴（a+c）²=9，
則a+c=3．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算，以及完全平方公式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．