Question

在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且a=4

3

，b=3

2

，∠A=2∠B．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用正弦定理列出關(guān)系式，將a，b，∠A=2∠B代入，化簡即可求出cosB的值；
（Ⅱ）由cosB的值，及B為三角形內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinB的值，根據(jù)∠A=2∠B，得到cosA=cos2B，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡求出cosA的值，進(jìn)而求出sinA的值，由sinC=sin（A+B），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式公式求出sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=4

3

，b=3

2

，∠A=2∠B，
∴在△ABC中，由正弦定理得

4 3

sin2B

=

3 2

sinB

，
變形得：

2sinBcosB

sinB

=

2 6

3

，
則cosB=

6

3

；
（Ⅱ）得（Ⅰ）cosB=

6

3

，且∠B為三角形內(nèi)角，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

3

，
又∠A=2∠B，
∴cosA=cos2B=2cos²B-1=

1

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

5 3

9

，
則c=

asinC

sinA

=

4 3 × 5 3 9

2 2 3

=5

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．