在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且（2a+c）cosB+bcosC=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面積S的最大值．
解 （Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
得2sinACcosB+sin（C+B）=0，
因為A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因為sinA≠0，
所以cosB=-
，又B為三角形的內(nèi)角，所以B=
．
（Ⅱ）因為S=
，由B=
及a+c=4得S=
=
=
，
又0＜a＜4，所以當(dāng)a=2時，S取最大值
…（3分）
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的關(guān)系，通過兩角和與三角形的內(nèi)角和，求出B的值；
（Ⅱ）通過S=
，利用B=
以及a+c=4，推出△ABC面積S的表達式，通過平方法結(jié)合a的范圍求出面積的最大值．
點評：本題是中檔題，考查三角形面積的最值，三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)的公式的靈活應(yīng)用，考查計算能力．
