已知函數(shù)f(x)=sin
x
3
cos
x
3
+
3
cos2
x
3
．
（Ⅰ）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)及對(duì)稱軸方程
（Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f（x）的值域．
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸方程求解即可；
（Ⅱ）通過b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范圍，然后求出x的范圍，求出
2x
3
+
π
3
的范圍，利用f(x)= sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2
求出f（x）的值域．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
(1+cos
2x
3
)=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
cos
2x
3
+
3
2
=sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2

由sin(
2x
3
+
π
3
)=0即
2x
3
+
π
3
=kπ(k∈z)得x=
3k-1
2
π，k∈z
即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為
3k-1
2
π，k∈z
（Ⅱ）由已知b2=ac，cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，∴
1
2
≤cosx＜1，0＜x≤
π
3
，
π
3
＜
2x
3
+
π
3
≤
5π
9

∵|
π
3
-
π
2
|＞|
5π
9
-
π
2
|
∴sin
π
3
＜sin(
2x
3
+
π
3
)≤1，∴
3
＜sin(
2x
3
+
π
3
)≤1+
3
2
，
即f（x）的值域?yàn)?span id="lpogqpz" class="MathJye">(
3
，1+
3
2
]．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，余弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域的求法，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（附加題）
（Ⅰ）設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當(dāng)x∈S時(shí)有x2∈S，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若m=2，則l=4
②若m=-
1
2
，則
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，則-
2
2
≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對(duì)于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，則b的取值范圍為
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記aij是這個(gè)數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a43=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個(gè)數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn，
數(shù)列{f（bn）}的前n項(xiàng)和為Tn，求證Tn＜
2009
2010
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面積S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)集合M，若存在實(shí)數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個(gè)上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項(xiàng)組成的集合的上界（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案