Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，并且a₁=1，對任意正整數(shù)n，S_n+1=4a_n+2；設(shè)b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，3，…）．
（I）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項公式；
（II）設(shè)Cn=

bn

3

，Tn為數(shù)列{

1

log2Cn+1•log2Cn+2

}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（I）由S_n+1=4a_n+2，知S_n=4a_n-1+2（n≥2），所以a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），由此可知b_n=3•2^n-1（n∈N*）．
（II）由題意知Cn=

bn

3

=2n-1，

1

log2Cn+1•log2Cn+2

=

1

log22n•log22n+1

=

1

n(n+1)

，由此可知Tn=(1-

1

2

) +(

1

2

-

1

3

) +…+ (

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．

解答：解：（I）∵S_n+1=4a_n+2，∴S_n=4a_n-1+2（n≥2），
兩式相減：a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），∴a_n+1=4（a_n-a_n-1）（n≥2），∴b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n+1=a_n+2-2a_n+1=4（a_n+1-a_n）-2a_n+1，b_n+1=2（a_n+1-2a_n）=2b_n（n∈N*），
∴

bn+1

bn

=2，∴{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列，（4分）
∵b₁=a₂-2a₁，而a₁+a₂=4a₁+2，∴a₂=3a₁+2=5，b₁=5-2=3，
∴b_n=3•2^n-1（n∈N*）（7分）
（II）Cn=

bn

3

=2n-1，
∴

1

log2Cn+1•log2Cn+2

=

1

log22n•log22n+1

=

1

n(n+1)

，（9分）
而

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=(1-

1

2

) +(

1

2

-

1

3

) +…+ (

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

（12分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答．