Question

14．已知函數(shù)f（x）=2x²+alnx，若對任意兩個不等的正數(shù)x₁，x₂（x₁＞x₂），都有f（x₁）-f（x₂）＞8（x₁-x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a≥4
• B． a≥3
• C． a≥2
• D． 以上答案均不對

Answer 1

分析 條件等價于g（x）=f（x）-8x在（0，+∞）上為增函數(shù)，即g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)得出a≥-4x²+8x，則y=-4x²+8x在（0，+∞）上的最大值為a的最小值．

解答 解：∵f（x₁）-f（x₂）＞8（x₁-x₂），
∴f（x₁）-8x₁＞f（x₂）-8x₂，
∵x₁＞x₂＞0，
∴g（x）=f（x）-8x=2x²-8x+alnx在（0，+∞）上為增函數(shù)．
∴g′（x）=4x-8+$\frac{a}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴a≥-4x²+8x在（0，+∞）上恒成立．
設(shè)h（x）=-4x²+8x，則h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h_max（x）=h（1）=4．
∴a≥4．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值與函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．