已知四棱錐P-ABCD的三視圖如下圖所示,E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn).精英家教網(wǎng)
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)是否不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE?證明你的結(jié)論;
(3)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),求二面角D-AE-B的大小.
分析:(1)依據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),以及位置關(guān)系,直接求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)連接AC,證明BD⊥平面PAC,說明不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE;
(3)點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DF⊥AE于F,連接BF,說明∠DFB為二面角D-AE-B的平面角,解三角形DFB,求二面角D-AE-B的大小.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)由三視圖可知,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,
即四棱錐P-ABCD的體積為
2
3
.(5分)
側(cè)棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.(2分)
VP-ABCD=
1
3
S正方形ABCD•PC=
1
3
×12×2=
2
3


(2)不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE.(7分)
證明如下:連接AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC.(9分)
∵PC⊥底面ABCD,且BD?平面ABCD,∴BD⊥PC.(10分)
又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC.(11分)
∵不論點(diǎn)E在何位置,都有AE?平面PAC.
∴不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE.(12分)

(3):在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DF⊥AE于F,連接BF.
∵AD=AB=1,DE=BE=
12+12
=
2
,AE=AE=
3

∴Rt△ADE≌Rt△ABE,
從而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE.
∴∠DFB為二面角D-AE-B的平面角.(15分)
在Rt△ADE中,DF=
AD•DE
AE
=
2
3
=BF

BD=
2
,在△DFB中,由余弦定理得
cos∠DFB=
DF2+BF2-BD2
2DF•BF
=
2
3
-2
2
3
=-
1
2
,(18分)
∴∠DGB=120°,即二面角D-AE-B的大小為120°.(20分)
點(diǎn)評(píng):本題考查由三視圖求面積、體積,二面角及其度量,考查知識(shí)的靈活運(yùn)用能力,計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=2CD=2,PB=PC,側(cè)面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中點(diǎn).
(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)求證:PA⊥BD
(3)若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
,求PB的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,E為BC中點(diǎn),AE與BD交于O點(diǎn),AB=BC=2CD=2,BD⊥PE.
(1)求證:平面PAE⊥平面ABCD; 
(2)若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
,PO=2,求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,E是線段PC上一點(diǎn),PC⊥平面BDE.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAB.
(Ⅱ)若PA=4,AB=2,BC=1,求直線AC與平面PCD所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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