Question

（2012•安徽模擬）已知{a_n}是等比數(shù)列，公比q＞1，前n項(xiàng)和為Sn，且

S3

a 2

=

7

2

，a4=4，數(shù)列bn滿足：

a

bn 2n+1

=2，n=1，2，…
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)數(shù){b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和為T_n，求證

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）由

S3

a2

=

7

2

建立關(guān)于a₁和q的方程，可解出q=2．從而得到數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

1

2

，得{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1=2^n-2，由此結(jié)合題意和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)整理，可得b_n=

1

2n-1

；
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論，得b_nb_n+1=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），代入T_n消元化簡(jiǎn)得T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

），最后結(jié)合

1

2n+1

的取值范圍，利用不等式的運(yùn)算性質(zhì)可證出不等式

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)成立．

解答：解：（I）

S3

a2

=

a1+a1q+a1q2

a1q

=

1+q+q2

q

=

7

2

，
∴整理得2q²-5q+2=0，解之得q=2（舍

1

2

）
由此可得a₁=

a4

q3

=

1

2

，得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1=2^n-2，
∴a_2n+1=2^2n-1，結(jié)合a2n+1bn=2得b_n=log a2n+12=

1

2n-1

；
可得{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=

1

2n-1

；
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論，得
b_nb_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
可得T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）
∵n∈N^*，∴0＜

1

2n+1

≤

1

3

，得

2

3

≤1-

1

2n+1

＜1
因此，T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

）∈[

1

3

，

1

2

），
即不等式

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等差、等比數(shù)列模型，求數(shù)列的通項(xiàng)并求討論數(shù)列{b_nb_n+1}的前n和的取值范圍，著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、數(shù)列與不等式的綜合等知識(shí)，屬于中檔題．