精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知圓2x2+2y2-8x-8y-1=0的圓心為M,B為該圓上任意一點,當直線BM 與直線l:x+y-9=0 相交于點A時,圓上總存在點C使∠BAC=45°.
(1)當點A的橫坐標為4時,求直線AC的方程;
(2)求點A的橫坐標的取值范圍.
【答案】分析:(1)根據圓與直線的方程可知:M(2,2),A(4,5),kAM=,設直線AC的斜率為k,則有,解得k從而求得直線AC的方程;
(2)將圓的方程化為(x-2)2+(y-2)2=(2,設A(a,9-a)①當a≠2時,把∠BAC看作AB到AC的角,又點C在圓M上,由圓心到AC的距離小于等于圓的半徑,即 求解.②當a=2時,則A(2,7)與直線x=2成45°角的直線有y-7=x-2,M到它的距離d=,這樣點C不在圓M上不成立.
解答:解:(1)依題意M(2,2),A(4,5),kAM=
設直線AC的斜率為k,則
解得k=-5或k=,
故所求直線AC的方程為5x+y-25=0或x-5y+21=0;

(2)圓的方程可化為(x-2)2+(y-2)2=(2,設A點的橫坐標為a.
則縱坐標為9-a;
①當a≠2時,kAB=,設AC的斜率為k,把∠BAC看作AB到AC的角,
則可得k=,直線AC的方程為y-(9-a)=(x-a)
即5x-(2a-9)y-2a2+22a-81=0,
又點C在圓M上,
所以只需圓心到AC的距離小于等于圓的半徑,
,
化簡得a2-9a+18≤0,
解得3≤a≤6;
②當a=2時,則A(2,7)與直線x=2成45°角的直線為y-7=x-2
即x-y+5=0,M到它的距離d==,
這樣點C不在圓M上,
還有x+y-9=0,顯然也不滿足條件,
綜上:A點的橫坐標范圍為[3,6].
點評:本題主要考查直線與圓的位置關系及方程的應用,還涉及了直線中的到角公式,點到直線的距離等,考查計算能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知圓M:2x2+2y2-8x-8y-1=0和直線l:x+y-9=0過直線l上一點A作△ABC,使∠BAC=45°,AB過圓心M,且B,C在圓M上.
(1)當A的橫坐標為4時,求直線AC的方程;
(2)求點A的橫坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知圓2x2+2y2-8x-8y-1=0的圓心為M,B為該圓上任意一點,當直線BM 與直線l:x+y-9=0 相交于點A時,圓上總存在點C使∠BAC=45°.
(1)當點A的橫坐標為4時,求直線AC的方程;
(2)求點A的橫坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知圓2x2+2y2-8x-8y-1=0的圓心為M,B為該圓上任意一點,當直線BM 與直線l:x+y-9=0 相交于點A時,圓上總存在點C使∠BAC=45°.
(1)當點A的橫坐標為4時,求直線AC的方程;
(2)求點A的橫坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:2012-2013學年浙江省杭州高級中學高二(上)期中數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知圓2x2+2y2-8x-8y-1=0的圓心為M,B為該圓上任意一點,當直線BM 與直線l:x+y-9=0 相交于點A時,圓上總存在點C使∠BAC=45°.
(1)當點A的橫坐標為4時,求直線AC的方程;
(2)求點A的橫坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案