Question

7．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，E是BC中點(diǎn)，求異面直線DE與A₁C所成角的大�。�

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線DE與A₁C所成角的大小．

解答 解正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，E是BC中點(diǎn)，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
D（0，0，0），E（$\frac{1}{2}$，1，0），A₁（1，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}，1，0$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，1，-1），
設(shè)異面直線DE與A₁C所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{{A}_{1}C}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{{A}_{1}C}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴異面直線DE與A₁C所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．