Question

20．如圖甲：⊙O的直徑AB=2，圓上兩點(diǎn)C，D在直徑AB的兩側(cè)，使∠CAB=$\frac{π}{4}$，∠DAB=$\frac{π}{3}$，沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，根據(jù)圖乙解答下列各題：
（Ⅰ）若點(diǎn)G是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)，證明：FG∥平面ACD；
（Ⅱ）求平面ACD與平面BCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出E的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：連接OF，F(xiàn)G，OG，
∵F，O是BC，AB的中點(diǎn)，
∴FO∥AC，
∵FO?平面ACD，AC?平面ACD，
∴FO∥平面ACD，
∵∠DAB=$\frac{π}{3}$，且G是BD弧的中點(diǎn)，
∴∠BOG=$\frac{π}{3}$，則AD∥OG，
∵OG?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OG∥平面ACD，
∵FO∩OG=O，F(xiàn)O，OG?平面FOG，
∴面FOG∥面ACD，
又FG?平面FOG，
∴FG∥平面ACD
（Ⅱ）如圖，設(shè)H為弧DG的中點(diǎn)，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH，OB，OC分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，-1，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{AC}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
則由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=y+z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$y=0，得$\left\{\begin{array}{l}{z=-y}\\{x=-\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$，
令y=-$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
同理可得平面BCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$，
即平面ACD與平面BCD所成的銳二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．