Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率為，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的最小距離為2，延長(zhǎng)至使得，線段上存在異于的點(diǎn)滿足.

（1）   求橢圓的方程；

（2）   求點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）   求證：過直線上任意一點(diǎn)必可以作兩條直線

與的軌跡相切，并且過兩切點(diǎn)的直線經(jīng)過定點(diǎn).

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）直線經(jīng)過定點(diǎn)（1,0）.

【解析】本試題主要考查了圓與直線，以及橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

解：（1）依題意得，    ………………………………………………2分

解得，∴ ……………………………………………………………3分

橢圓的方程為   …………………………………………………………………4分

（2）解法1：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y).

當(dāng)重合時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為和點(diǎn)，     …………………………………5分

當(dāng)不重合時(shí)，由，得.  ……………………………6分

由及橢圓的定義，， …………7分

所以為線段的垂直平分線，T為線段的中點(diǎn)

在中，，  …………………………………………8分

所以有.

綜上所述，點(diǎn)的軌跡C的方程是.    …………………………………9分

（3）   直線與相離，

過直線上任意一點(diǎn)可作圓的兩條切線   …………10分

所以

所以O(shè),E,M,F四點(diǎn)都在以O(shè)M為直徑的圓上，  …………………………11分

其方程④      …………………………12分

  EF為兩圓的公共弦，③-④得：EF的方程為4X+ty -4=0      ………13分

顯然無(wú)論t為何值，直線ef經(jīng)過定點(diǎn)(1,0).           ………………14分