Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足|

F1Q

|=2a．點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足

PT

•

TF2

=0，|

TF2

|≠0．
（1）求證：|PQ|=|PF₂|；
（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（3）若橢圓的離心率e=

3

2

，試判斷軌跡C上是否存在點(diǎn)M，使△F₁MF₂的面積S=b²，若存在，請(qǐng)求出∠F₁MF₂的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由橢圓的定義有|PF₁|+|PF₂|=2a，再根據(jù)|QF₁|=|PF₁|+|QP|=2a，可得|PQ|=|PF₂|．
（2）由條件可得OT是△QF₁F₂的中位線，可得|OT|=

1

2

|QF1|=a，于是可求點(diǎn)T的軌跡C的方程．
（3）假設(shè)C上存在點(diǎn)M（x₀，y₀）使S=b²的充要條件是

x 2 0 + y 2 0 =a2…(3) 1 2 •2c|y0|=b2…(4)

，故有a≥

b2

c

，求得

5 -1

2

≤e＜1．根據(jù)

3

2

∈[

5 -1

2

，1），可得軌跡C上存在點(diǎn)M滿足條件．在此條件下，由S=

1

2

|

MF1

|•|

MF2

|sin∠F1MF2=b2，求得tan∠F₁MF₂的值．

解答： 解：（1）由橢圓的定義有|PF₁|+|PF₂|=2a，
又|QF₁|=|PF₁|+|QP|=2a，
∴|PQ|=|PF₂|．
（2）由（1）得|PQ|=|PF₂|，又

PT

•

TF2

=0，|

TF2

|≠0．
∴點(diǎn)T為QF₂的中點(diǎn)，
又點(diǎn)O是線段F₁F₂的中點(diǎn)，
∴OT是△QF₁F₂的中位線．
∴|OT|=

1

2

|QF1|=a，所以點(diǎn)T的軌跡C的方程是x²+y²=a²．
（3）假設(shè)C上存在點(diǎn)M（x₀，y₀）使S=b²的充要條件是

x 2 0 + y 2 0 =a2…(3) 1 2 •2c|y0|=b2…(4)

，
由題意得|y₀|≤a，由（4）得|y0|=

b2

c

．
所以若要存在點(diǎn)M，使S=b²，必須a≥

b2

c

，即ac≥b² ，
∴ac≥a²-c²，兩邊同除以a²得e²+e-1≥0，解得

5 -1

2

≤e＜1，或e≤

- 5 -1

2

（舍去）．
∵

3

2

∈[

5 -1

2

，1），
故當(dāng)橢圓的離心率e=

3

2

時(shí)，軌跡C上存在點(diǎn)M，使△F₁MF₂的面積S=b²．
在此條件下，

MF1

=(-c-x0，-y0)，

MF2

=(c-x0，-y0)，
由

MF1

•

MF2

=

x

2 0

-c2+

y

2 0

=a2-c2=b2，

MF1

•

MF2

=|

MF1

|•|

MF2

|cos∠F1MF2，S=

1

2

|

MF1

|•|

MF2

|sin∠F1MF2=b2，
得tan∠F₁MF₂=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于難題．