Question

設(shè)函數(shù)y=sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)?span id="rookfts" class="MathJye">[-1，

1

2

]，則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A．b-a的最小值為

  2π

  3

• B．b-a的最大值為

  4π

  3

• C．a(chǎn)不可能等于2kπ-

  π

  6

  ，k∈Z
• D．b不可能等于2kπ-

  π

  6

  ，k∈Z

Answer 1

分析：作出正弦函數(shù) y=sinx的圖象，并加以觀察，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)的結(jié)論進(jìn)行推理論證，結(jié)合取特殊的a、b值檢驗(yàn)，可得A、B、C都正確，而D項(xiàng)錯(cuò)誤，由此得到答案．

解答：解：作出正弦函數(shù) y=sinx的圖象，加以觀察得
對(duì)于A，當(dāng)a=-

π

2

且b=

π

6

時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增，
可得函數(shù)的最小值為sin（-

π

2

）=-1；函數(shù)的最大值為sin

π

6

=

1

2

此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?span id="extcsyf" class="MathJye">[-1，

1

2

]，b-a的達(dá)到最小值

2π

3

，故A正確；．
對(duì)于B，當(dāng)a=-

7π

6

且b=

π

6

時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上先單調(diào)遞減，
再單調(diào)遞增，
函數(shù)的最小值為sin（-

π

2

）=-1；且最大值為sin（-

7π

6

）=sin

π

6

=

1

2

，
此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?span id="nrcckdi" class="MathJye">[-1，

1

2

]，b-a的達(dá)到最大值

4π

3

，故B正確；．
對(duì)于C，如果a=2kπ-

π

6

（k∈Z），由于sina=-

1

2

沒(méi)有達(dá)到最小值1，則b≥2kπ+

3π

2

才能出現(xiàn)函數(shù)的最小值1，而此時(shí)函數(shù)的最大值為1而不是

1

2

，與題設(shè)矛盾
因此a不可能等于2kπ-

π

6

（k∈Z），可得C正確；
對(duì)于D，當(dāng)a=-

7π

6

且b=-

π

6

時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)的值域?yàn)?span id="ofihlkc" class="MathJye">[-1，

1

2

]，
說(shuō)明b值可能等于2kπ-

π

6

（k∈Z），故D不正確
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出正弦函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論，要求找出其中的假命題，考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．