Question

（1）如圖，設(shè)點(diǎn)P，Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若，，試用，表示，，并判斷與的關(guān)系；
（2）受（1）的啟示，如果點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形法則及向量共線的數(shù)乘表示，分別用向量 、表示出 ，相加即得用向量 、表示 的表達(dá)式，進(jìn)而判斷與的關(guān)系；
（2）受（1）的啟示，如果點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點(diǎn)，歸納得出猜想 ，再數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．
解答：解：（1）如圖：點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn) =，
則 ，同理 ，（2分）
所以 （4分）
即：，
（2）設(shè)A₁，A₂．，…，A_n-1是AB的n等分點(diǎn)，
則 ；
證：A₁，A₂，，A_n-1是線段n≥2的 等分點(diǎn)，
先證明：（1≤k≤n-1，n、k∈N^*）．
由 ，，
因?yàn)?和 是相反向量，
則 ，
所以 ．
記 ，

相加得
∴．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平行向量與共線向量、歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．