Question

修建一個面積為s（s＞2.5）平方米的矩形場地的圍墻，要求在前面墻的正中間留一個寬度為2米的出入口，后面墻長度不超過20米．已知后面墻的造價為每米45元，其他墻的造價為每米180元．設后面墻長度為x米，修建此矩形場地圍墻的總費用為f（x）元．
（1）求f（x）的表達式；
（2）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,基本不等式在最值問題中的應用

專題：應用題,不等式的解法及應用

分析：（1）設矩形的另一邊長為am，根據(jù)面墻的造價為每米45元，其他墻的造價為每米180元，可得函數(shù)關系式；
（2）求導數(shù)，可得f（x）在[2，

2 10s

5

]遞減，在[

2 10s

5

，+∞)遞增，再分類討論，即可得出結論．

解答： 解：（1）設矩形的另一邊長為am，（1分）
則f（x）=45x+180（x-2）+180•2a=225x+360a-360（2≤x≤20），（3分）
由已知xa=s，所以f(x)=225x+

360s

x

-360，x∈[2，20]（5分）
（2）∵s＞2.5，∴

2 10s

5

＞2，
∵f′（x）=225-

360

x2

，
∴f（x）在[2，

2 10s

5

]遞減，在[

2 10s

5

，+∞)遞增，（7分）
若

2 10s

5

≤20，即s≤250，則當x=

2 10s

5

時，最小總費用為f(x)min=180

10s

-360（元）（10分）
若

2 10s

5

＞20，即s＞250，則當x=20時，最小總費用為f（x）_min=4140+18s（元）（13分）

點評：本題考查函數(shù)模型的建立與運用，考查導數(shù)知識，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類是關鍵．