Question

等差數(shù)列{a_n}滿足：a₂=5，a₄+a₁₀=30的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n（a

3 n

-1）=8（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)與公差，由此能求出a_n及S_n．
（2）由已知得an2-1=4n（n+1），從而b_n=

8

an2-1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項(xiàng)法能證明T_n＜2．

解答： （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}公差為d，
由a₂=5，a₄+a₁₀=30，
∴

a1+d=5 2a1+12d=30

，
解得d=2，a₁=3，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
S_n=3n+

n(n+1)

2

×3=n²+2n．
（2）證明：∵a_n=2n+1，∴an2-1=4n（n+1），
∴b_n=

8

an2-1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=2-

2

n+1

＜2．
∴T_n＜2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．