Question

16．已知冪函數(shù)y=f（x），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（x）在區(qū)間[0，1]上圖象如圖所示．對(duì)滿足：0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁、x₂，給出下列結(jié)論：
①f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
③$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）
④[f′（x₁）-f′（x₂）]（x₁-x₂）＞0
其中一定正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ③④
• D． ②③

Answer 1

分析 由函數(shù)的圖象，我們可根據(jù)$\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$（圖象上任意兩點(diǎn)之間的斜率）與1的大小判斷①的對(duì)錯(cuò)；根據(jù)得$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$與$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$（圖象上任意兩點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率）的大小判斷②的正誤；再根據(jù)函數(shù)圖象是凸增的，我們可判斷③的真假；得到f′（x）在（0，1）遞減，由x₁＜x₂得：f′（x₁）＞f′（x₂），（x₁-x₂）＜0，從而判斷正誤．

解答 解：由f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁，可得 $\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞1，
即兩點(diǎn)（x₁，f（x₁））與（x₂，f（x₂））連線的斜率大于1，
顯然①不正確；
由x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），得 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
即表示兩點(diǎn)（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂））與原點(diǎn)連線的斜率的大小，
可以看出結(jié)論②正確；
結(jié)合函數(shù)圖象，容易判斷③的結(jié)論是正確的，
結(jié)合圖象函數(shù)遞增的速度減小，故f′（x）在（0，1）遞減，
由x₁＜x₂得：f′（x₁）＞f′（x₂），即f′（x₁）-f′（x₂）＞0，（x₁-x₂）＜0，
故④[f′（x₁）-f′（x₂）]（x₁-x₂）＜0，④錯(cuò)誤；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象和直線的斜率，解答的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖象分析結(jié)論中式子的幾何意義，然后進(jìn)行判斷．