Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|（a＞0），且不等式f（x）≥|x+1|的解集為{x|x≤

1

2

}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+|2x+1|，若不等式|2m+n|+|m-n|≥|m|•g（x）對任意m，n∈R且m≠0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化簡不等式為絕對值不等式利用數(shù)軸推出結(jié)果即可．
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化不等式，利用絕對值三角不等式，求出表達式的最小值，通過恒成立求出x的范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式f（x）≥|x+1|可得|x-a|≥|x+1|，
∵a＞0，由數(shù)軸可知∴解得x≤

a-1

2

，
∵不等式f（x）≥|x+1|的解集為{x|x≤

1

2

}．
∴

1

2

=

a-1

2

，得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=|x-2|+|2x+1|，
又不等式|2m+n|+|m-n|≥|m|•g（x）
∴

|2m+n|+|m-n|

|m|

≥g(x)，
而

|2m+n|+|m-n|

|m|

≥

|2m+n+m-n|

|m|

=3，
∴g（x）≤3恒成立，
即|x-2|+|2x+1|≤3，
解得x的取值范圍：{x|-

2

3

≤x≤0}．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．