設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知Sn=2an-2n+1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令cn=(-1)n+1log
an
n+1
2
,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:當(dāng)n∈N*且n≥2時,T2n
2
2
分析:(1)由Sn=2an-2n+1,得Sn-1=2an-1-2n(n≥2).兩式相減,得an=2an-2an-1-2n,即an-2an-1=2n(n≥2).
an
2n
-
an-1
2n-1
=1
,所以數(shù)列{
an
2n
}
是公差為1的等差數(shù)列.由此可知an=(n+1)•2n
(2)由題意知T2n=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
++
1
2n-1
-
1
2n
=(1+
1
2
+
1
3
++
1
2n
)-2(
1
2
+
1
4
++
1
2n
)
=
1
n+1
+
1
n+2
++
1
2n
.然后再證明證
1
n+1
+
1
n+2
++
1
2n
2
2
解答:解:(1)由Sn=2an-2n+1,得Sn-1=2an-1-2n(n≥2).
兩式相減,得an=2an-2an-1-2n,即an-2an-1=2n(n≥2).
于是
an
2n
-
an-1
2n-1
=1
,所以數(shù)列{
an
2n
}
是公差為1的等差數(shù)列.(5分)
又S1=2a1-22,所以a1=4.
所以
an
2n
=2+(n-1)=n+1
,故an=(n+1)•2n.(6分)
(2)因為cn=(-1)n+1
1
n
,則當(dāng)n≥2時,T2n=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
++
1
2n-1
-
1
2n
=(1+
1
2
+
1
3
++
1
2n
)-2(
1
2
+
1
4
++
1
2n
)
=
1
n+1
+
1
n+2
++
1
2n
.(9分)

下面證
1
n+1
+
1
n+2
++
1
2n
2
2

g(x)=ln(x+1)-
x
x+1
(x>0)
,則g′(x)=
1
x+1
-
1
(x+1)2
=
x
(x+1)2
>0
,
∴g(x)在(0,+∞)時單調(diào)遞增,g(x)>g(0)=0,即當(dāng)x>0時,ln(x+1)>
x
x+1

x=
1
n
,ln
n+1
n
1
n+1
?ln(n+1)-lnn>
1
n+1
ln(n+2)-ln(n+1)>
1
n+2
,
,ln(n+3)-ln(n+2)>
1
n+3
ln(2n)-ln(2n-1)>
1
2n

以上n個式相加,即有ln(2n)-lnn>
1
n+1
+
1
n+2
++
1
2n

1
n+1
+
1
n+2
++
1
2n
<ln(2n)-lnn=ln2<
2
2
(14分)
點評:本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運用,解題時要認(rèn)真審題,注意公式的靈活運用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sn,a1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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