Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，|F₁F₂|=4，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，線段AF₁與雙曲線左支相交于點(diǎn)B，△F₂AB的內(nèi)切圓與邊BF₂相切于點(diǎn)E．若|AF₂|=2|BF₁|，|BE|=2$\sqrt{2}$，則雙曲線C的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)|BF₁|=m，則|AF₂|=2m，由雙曲線的定義可得|AF₁|=2a+2m，|BF₂|=m+2a，|EF₂|=m+2a-2$\sqrt{2}$，再由內(nèi)切圓的性質(zhì)，求得a=$\sqrt{2}$，結(jié)合離心率公式，可得所求．

解答 解：設(shè)|BF₁|=m，則|AF₂|=2m，
由雙曲線的定義有|AF₁|=|AF₂|+2a=2a+2m，
|BF₂|=m+2a，|EF₂|=m+2a-2$\sqrt{2}$，
即有2a+2m=2m-（m+2a-2$\sqrt{2}$）+2$\sqrt{2}$+m，
解得a=$\sqrt{2}$，
由c=2，可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查離心率的求法，屬于中檔題．