設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)＞0,求證:

(1)方程f(x)=0有實(shí)根;

(2)-2＜＜-1;

(3)設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根,則≤|x1-x2|＜.

證明：(1)若a=0,由a+b+c=0得b=-c.

∴f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c2≤0,與已知f(0)f(1)＞0矛盾.故a≠0.

因此要證f(x)=0有實(shí)根,只需證Δ=4(b2-3ac)≥0,

即證4［(-a-c)2-3ac］≥0.

只需證4(a2-ac+c2)=4(a)2+3c2≥0.

而4(a)2+3c2≥0顯然成立,

∴方程f(x)=0有實(shí)根.

(2)由f(0)f(1)＞0得c(3a+2b+c)＞0,

又∵a+b+c=0,∴(a+b)(2a+b)＜0.

又∵a2＞0,∴(1+)(2+)＜0.

故-2＜＜-1.

(3)要證≤|x1-x2|＜成立,

只需證≤(x1-x2)2＜成立,

只需證≤(x1+x2)2-4x1x2＜成立.

又∵x1+x2=,x1x2=,

∴(x1+x2)2-4x1x2=(+)2+.

∵-2＜＜-1,

∴≤(x1-x2)2＜成立.

∴≤|x1-x2|＜.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年人教B版高中數(shù)學(xué)必修5 3.3 一元二次不等式及其解法練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)>0，f(1)>0

求證：（1）a>0，－2<<－1

（2）函數(shù)f(x)在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)。

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0.f(0)＞0，f(1)＞0，

求證： (Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)＞0,f(1)＞0,求證：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1;

(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c若a+b+c=0,f(0)＞0,f(1)＞0,求證：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1;

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(20)設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)f(1)＞0，求證：

    (Ⅰ)方程f(x)=0有實(shí)根；

    (Ⅱ)-2＜＜-1；

    (Ⅲ)設(shè)x1，x2是方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根，則≤|x1-x2|＜．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案