Question

10．已知函數(shù)f（x）=-x²+4x+a（a＞0）的圖象與直線x=0，x=3及y=x所圍成的平面圖形的面積不小于$\frac{21}{2}$，則曲線g（x）=ax-4ln（ax+1）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線斜率的最小值為-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，y=f（x）的圖象在直線y=x的上方，則圍成的平面圖形的面積為${∫}_{0}^{3}$（-x²+3x+a）dx，運(yùn)用定積分運(yùn)算可得$\frac{9}{2}$+3a，再由條件可得a的范圍，求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，令t=a+1（t≥3），則h（t）=t+$\frac{4}{t}$-5，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性可得最小值．

解答 解：當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）-x=-x²+3x+a＞0，即有y=f（x）的圖象在直線y=x的上方，
則圍成的平面圖形的面積為${∫}_{0}^{3}$（-x²+3x+a）dx=（-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{3}{2}$x²+ax）|${\;}_{0}^{3}$=$\frac{9}{2}$+3a，
由題意可得$\frac{9}{2}$+3a≥$\frac{21}{2}$，解得a≥2．
g（x）=ax-4ln（ax+1）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=a-$\frac{4a}{ax+1}$，
可得在點(diǎn)（1，g（1））處的切線斜率為a-$\frac{4a}{a+1}$=（a+1）+$\frac{4}{a+1}$-5，
令t=a+1（t≥3），則h（t）=t+$\frac{4}{t}$-5，
h′（t）=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$＞0，可得h（t）在[3，+∞）遞增，
即有h（t）≥h（3）=3+$\frac{4}{3}$-5=-$\frac{2}{3}$，
則當(dāng)a=2時(shí)，取得最小值-$\frac{2}{3}$．
故答案為：-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查定積分的運(yùn)用：求面積，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．