Question

19．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)，∠PDA=45°．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PD中點(diǎn)E，連結(jié)AE，NE，則可利用中位線定理和平行公理證明四邊形AMNE是平行四邊形，故而MN∥AE，從而MN∥平面PAD；
（2）由線面垂直的性質(zhì)證明AE⊥平面PCD，又AE∥MN，故MN⊥平面PCD，從而平面PMC⊥平面PCD．

解答 證明：（1）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，EN
∵N為PC中點(diǎn)，
∴EN為△PDC的中位線，
∴EN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，又∵CD$\stackrel{∥}{=}$AB，M為中點(diǎn)，
∴EN$\stackrel{∥}{=}$AM．∴四邊形AMNE為平行四邊形．
∴MN∥AE．
又∵M(jìn)N?平面PAD，AE?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，AD?平面ABCD．
∴PA⊥CD，PA⊥AD．
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．
又∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵∠PDA=45°，E為PD中點(diǎn)，
∴AE⊥PD．又∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD．
∵M(jìn)N∥AE，
∴MN⊥平面PCD，
又∵M(jìn)N?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．