Question

12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，若a+c=4，則AC邊上中線長的最小值$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，整理后求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)，設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為E，利用三邊a，b，c用余弦等量將中線BE表示出來，再用基本不等式求最小值．

解答 解：∵acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，
∴2bcosB=ccosA+acosC，利用正弦定理得：2sinBcosB-sinCcosA=sinAcosC，
整理得：2sinBcosB=sin（A+C），即2sinBcosB=sinB，
∵sinB≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
則B=$\frac{π}{3}$．如圖：設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為E
在△BAE中，由余弦定理得：BE²=c²+（$\frac{2}$）²-2c（$\frac{2}$）cosA，
又cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，a²+c²-b²=ac代入上式，并整理得：
BE²=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+ac}{4}$=$\frac{（a+c）^{2}-ac}{4}$=$\frac{16-ac}{4}$≥$\frac{16-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{4}$=3，當(dāng)a=c=2時(shí)取到”=”，
所以AC邊上中線長的最小值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理的應(yīng)用，考查了用基本不等式求最值，考查了分析解決問題及計(jì)算能力，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．