Question

19．記f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀'（x），f₂（x）=f₁'（x），…，f_n（x）=f_n-1'（x），n∈N，則f₂₀₁₅（x）=（　　）

• A． sin x
• B． -sin x
• C． cos x
• D． -cos x

Answer 1

分析 由題意對(duì)函數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)呈周期性的變化，且其周期是4，即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意f₀（x）=sinx，
f₁（x）=f₀′（x）=cosx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
由此可知，在逐次求導(dǎo)的過(guò)程中，所得的函數(shù)呈周期性變化，從0開(kāi)始計(jì)，周期是4，
∵2015=4×503+3，
故f₂₀₁₅（x）=f₃（x）=-cosx
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期性，探究過(guò)程中用的是歸納推理，對(duì)其前幾項(xiàng)進(jìn)行研究得出規(guī)律，求解本題的關(guān)鍵一是要?dú)w納推理的意識(shí)，一是對(duì)正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法公式熟練掌握．