Question

已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ） 若a=2，求f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)常數(shù)a≠0時(shí)，設(shè)g（x）=，求g（x）在上的最值．

Answer 1

解：（Ⅰ） 當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x+2sinx所以f'（x）=1+2cosx…．…．（1分）
當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，…．…．（2分）
所以 f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為…．…．（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
∴f'（x）=1+acosx≥0對(duì)x∈（-∞，+∞）恒立． …（5分）
法一：令t=cosx，則1+at≥0對(duì)t∈[-1，1]恒成立，…（7分）
∴，解得-1≤a≤1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]． …（9分）
法二：當(dāng)cosx＞0時(shí)，，即，所以a≥-1…（6分）
當(dāng)cosx＜0時(shí)，，即，所以a≤1…（7分）
當(dāng)cosx=0時(shí)，f（x）=1≥0恒成立，所以a∈R…（8分）
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]． …（9分）
（Ⅲ）g（x）=，∴g′（x）=，…（10分）
記h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），
則h′（x）=-xsinx＜0對(duì)x∈（0，π）恒成立，…（11分）
∴h（x）在x∈（0，π）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0），即g′（x）＜0，…（12分）
①當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=在（0，π）上是減函數(shù)，
得g（x）在上為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=時(shí)，g（x）取得最大值1+；當(dāng)x=時(shí)，
g（x）取得最小值1+．…（13分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）=在（0，π）上是增函數(shù)，
得g（x）在上為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=時(shí)，g（x）取得最大值1+；
當(dāng)x=時(shí)，g（x）取得最小值1+．…（14分）
分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=2代入f（x），然后對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，可以令f′（x）＜0，解出x的范圍即可；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到f'（x）=1+acosx≥0對(duì)x∈（-∞，+∞）恒立．
法一：利用換元法，令t=cosx，則1+at≥0對(duì)t∈[-1，1]恒成立，利用一次函數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于a的不等關(guān)系即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
法二：分類討論法，對(duì)cosx的正負(fù)進(jìn)行分類討論：當(dāng)cosx＞0時(shí)，，即；當(dāng)cosx＜0時(shí)，，即；當(dāng)cosx=0時(shí)，f（x）=1≥0恒成立，綜上所述，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）常數(shù)a≠0時(shí)，設(shè)g（x）=，利用求導(dǎo)法則，對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求出x在[0，π]上的極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值問題．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)�g（x）進(jìn)行正確求導(dǎo)，此題是一道中檔題．