Question

1．已知函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），給出下列命題：
①直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
③函數(shù)f（x）在定義域上是周期為2的函數(shù)；
④f（2016）+f（-2017）=0．
其中正確的有①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)“當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=-f（x）”和賦值法，求出當(dāng)x≥0時(shí)f（x）的周期，設(shè)x∈[1，2）則x-1∈[0，1），根據(jù)條件和恒等式求出f（x）在[1，2）上的解析式，由周期性、偶函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象對(duì)命題逐一判斷即可．

解答 解：∵當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）（x≥0），則當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）的周期為T=2．
設(shè)x∈[1，2），則x-1∈[0，1），
∵當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），∴f（x-1）=log₂x，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=-f（x），∴f（x）=-f（x-1）=-log₂x，x∈[1，2），
又f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：
①、直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，故①不正確；
②、函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1），故②正確；
③、函數(shù)f（x）在定義域上不是周期函數(shù)，故③不正確；
④、f（2016）+f（-2017）=0+0=0，故④正確；
所以正確的命題序號(hào)有：①②④
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，利用已知的恒等式和賦值法求函數(shù)的周期、解析式是解題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，分析問題、解決問題的能力．